如何判断偏导数存不存在(偏导数存在怎么证明)

本文目录

1. 偏导数不存在的充分条件
2. 偏导数的连续性一般需要如何证明
3. 高数，一道题偏导数好像不存在啊，怎么继续证明
4. 怎么证明偏导数存在

一、偏导数不存在的充分条件

1、多元函数在某处沿某一方向不连续，则该处该方向上的偏导不存在；

2、多元函数在某处沿某一方向不光滑，则该处该方向上的偏导不存在；

3、多元函数在某处沿某一方向斜率不为∞，则该处沿该方向的偏导不存在；

1、如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，则该函数全微分存在，可以证明，此时A=?z/?x，B=?z/?y，因此，全微分存在时偏导都存在的充分条件；

2、而反过来，偏导都存在，却不一定全微分存在（还要看o(ρ)是否是高阶无穷小！）举例：f(x,y)=xy/√(x2+y2)，x2+y2≠00，x2+y2=0在（0,0）偏导存在，全微分不存在！

3、因此，全微分存在时偏导都存在的充分非必要条件！

这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在，注意这时切记不能使用求导公式，以一元函数为例：这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点，在间断点x0处f'(x)无意义。

比如：fy(x,y)是在点(x,y)关于y的偏导数，应当注意，这里x是看作常数的，如果你要求(0,0)处关于y的偏导数，应该先把x固定成x=0，即先求出fy(0,y)=[4*(y^3)*e^(y^2)]/(y^2)=4*y*e^(y^2)，再以y=0代入，得到fy(0,0)=4*0*1=0。

二、偏导数的连续性一般需要如何证明

连续性的证明是相通的.都是左端点值=右端点值就能证明他是连续的.这里需要做得就是找出那个特殊的点,然后做出这个点从左边求得偏导数,和从右边做得偏导数,看是否相等.

三、高数，一道题偏导数好像不存在啊，怎么继续证明

该函数是锥面，它在(0,0)处的任何方向的方向导数都存在，但偏导数不存在。

四、怎么证明偏导数存在

1、偏导数存在的充分条件是原函数在该点处可微。

2、所以，需要证明原函数在该点可微。

3、原函数在该点可微的充分条件是：在该点连续并且存在极限。

4、因此，需要先证明在该点连续，并且存在极限，然后再证明可微性。

5、若可证得原函数连续并且存在极限，那么根据多元函数微积分中的基本定理，该点的偏导数一定存在。