实对称矩阵必存在正交矩阵(实对称矩阵与正交矩阵的关系)

本文目录

1. 实对称矩阵的正交矩阵的求法
2. 实对称矩阵的特征向量相互正交为什么
3. 实对称矩阵的两个特征向量有什么关系
4. 为什么对称矩阵一定有正交矩阵

一、实对称矩阵的正交矩阵的求法

即就是p'ap对角，这就过渡到基底的相互转化，根据其特征多项式只有一次的来计算

二、实对称矩阵的特征向量相互正交为什么

1、实对称矩阵的特征向量相互正交。这是因为实对称矩阵是正交对角化的，即可以被分解为一个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积。

2、而在这个分解中，正交矩阵的列向量就是实对称矩阵的特征向量，且这些特征向量相互正交。

3、这是因为在正交矩阵中，任意两个列向量的内积等于0，即两个不同的特征向量的内积为0，因此它们相互正交。

三、实对称矩阵的两个特征向量有什么关系

对称矩阵一定可以正交相似于对角矩阵，而矩阵可对角化的条件是这个矩阵必须有n个线性无关的特征向量。所以1必然对应有两个线性无关的特征向量，所以当你求1对应的特征向量的时候，最终你得到的矩阵的秩必然是3-2=1，也就是最后只有一个关于x2和x3方程来确定这两个特征向量.所以只要找到x2和x3的关系（也就是a和b的关系）就可以求出1对应的特征值

四、为什么对称矩阵一定有正交矩阵

1、对称矩阵一定可以通过正交矩阵进行对角化的原因，涉及到线性代数中的谱定理。谱定理说明，对称矩阵（也就是实对称矩阵）可以通过正交矩阵相似对角化。

2、根据谱定理，对于任意一个对称矩阵A，存在一个正交矩阵P和一个对角矩阵D，使得P^TAP=D，其中P^T表示P的转置。对角矩阵D的对角线上的元素即为A的特征值，而P的列向量即为对应的特征向量。

3、由于正交矩阵P的列向量构成一个正交基，因此它可以被看作是一个正交矩阵。这意味着P的列向量之间两两正交，且彼此的长度（模）均为1。通过对称矩阵和正交矩阵的相似性，我们可以将对称矩阵通过正交矩阵P对角化，即A=PDP^T，其中D是对角矩阵，P是正交矩阵。

4、所以，对称矩阵一定有正交矩阵。这个事实在线性代数的理论和应用中非常重要，并且在很多领域都有着广泛的应用。