正定矩阵是可逆矩阵吗(实对称矩阵可逆)

本文目录

1. 对称矩阵是可逆吗
2. 为什么表示矩阵可逆两矩阵秩相同
3. 什么叫实对称矩阵的逆矩阵
4. n阶可逆对称矩阵的性质

一、对称矩阵是可逆吗

不一定,最简单的就是0矩阵,对称不可逆,或者就a11=1,其余元都是0的矩阵对称不可逆。实对称矩阵是正交矩阵,不是所有的实对称阵都是正交矩阵。这里的P是是对称矩阵,且刚好P的逆等于P的转置,所以P也是正交矩阵。这只是一种特殊情况。

二、为什么表示矩阵可逆两矩阵秩相同

1、合同的定义，存在可逆矩阵P，使B=P^TAP，则称A与B合同。既然P可逆，那么P^T和P都是满秩阵，所以B的秩与A的秩相同。

2、若P,Q可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).即与可逆矩阵相乘秩不改变。

3、一个矩阵乘上一个满秩的方阵秩不变。

4、在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C^TAC=B,则称方阵A合同于矩阵B.

5、一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。

三、什么叫实对称矩阵的逆矩阵

1、设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

2、在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

3、矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

四、n阶可逆对称矩阵的性质

n阶实对称阵的定义是aa^t=e，那么两边取行列式，由于a转置的行列式等于a的行列式，有|a|^2=1，可知|a|不等于0，a不就可逆了，对称矩阵的性质：1,对称矩阵是元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。

2.形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

用<,>表示Rn上的内积。的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。

任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种 *** 写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)

每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。

如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵.

n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

所谓对称变换，即对任意α、β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影变换和镜像变换都是对称变换。