矩阵分解成两个矩阵？矩阵的终极分解-奇异值分解 SVD

1、说到一个矩阵，怎么才算是真正掌握它？

2、一个完美分解的 *** 就是SVD分解。什么是SVD？全称是singularValueDecomposition。奇异值分解。

3、把矩阵Am*n分解为一个三个矩阵相乘的形式，即A=U*∑*V',这三个矩阵是最简单的矩阵，Um*m是一个单位正交矩阵，Zm*n是一个对角阵，而Vn*n是另一个正交单位矩阵；并且∑m*n作为对角矩阵，还是元素由大到小排列的。V'即V^T,表示V的转置。

4、（单位正交矩阵是非常简单的矩阵，U^T=U^-1，首先它的逆就等于其转置。其次，它的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交，每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交。）

5、那么有什么简单的 *** 可以求出U和V还有∑？证明如下：

6、因为sigma是对角阵，设对角上的元素是K1，K2……Kn，则∑^2矩阵对角元素就是

7、所以A*A'=U*∑^2*U'，因为∑^2也是对角阵，这个形式就是对A*A'的特征向量分解，U就是A*A'特征向量矩阵，而∑^2就是该矩阵的特征值。

8、如果向量v与变换B满足Bv=λv，则称向量v是变换B的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(B–λI)v=0（其中I是单位矩阵）有非零解v(一个特征向量)，因此等价于行列式|B–λI|=0

9、首先，x表示为任意一组正交基的线性组合，v1和v2是正交的，互相垂直。

10、先乘以V'表示将v1v2变成标准正交基，再乘以∑表示对两个基不同程度的拉伸。

11、在此过程中，一组正交基乘以个正交矩阵的作用，仅仅是旋转了，向量幅度没变化，而乘以对角矩阵，则相当于每一个维度的基单独被伸长或者缩短了，但是向量的幅角没变。

12、这样可以更形象的理解一个向量，被矩阵A线性变换后的每一步到底做了什么，有什么意义。