矩阵的特征值怎么求(实对称矩阵的秩和特征值)

本文目录

1. 对称矩阵的特征值有什么特点
2. 三阶实对称矩阵的秩
3. 实对称矩阵的秩
4. 实对称矩阵的特征值与特征向量

一、对称矩阵的特征值有什么特点

1、对称矩阵是指一个矩阵的转置矩阵等于它本身，即A=A^T的矩阵。对称矩阵的特征值有以下几个特点：

2、对称矩阵的特征值一定是实数。这是因为特征值和特征向量是矩阵的本征性质，对称矩阵的特征向量一定是实向量，因此对应的特征值也必须是实数。

3、对称矩阵的特征向量一定正交。这是因为对称矩阵的特征向量满足Av=λv，其中λ是特征值，v是特征向量。如果A是对称矩阵，那么有(Av)^T=v^TA^T=v^TA，因此如果v1和v2是不同特征值λ1和λ2对应的特征向量，那么v1^TAv2=λ1v1^Tv2=λ2v1^Tv2，由于λ1≠λ2，因此v1^Tv2=0，即两个不同的特征向量正交。

4、对称矩阵的特征值可以对矩阵进行正交对角化。这是因为对称矩阵的特征向量构成的向量组一定是线性无关的，因此可以将矩阵对角化为D=P^TAP的形式，其中D是对角矩阵，P是正交矩阵，它的每一列都是对称矩阵的特征向量。这种对称矩阵的正交对角化 *** 被称为谱分解，它具有广泛的应用，如矩阵的主成分分析等。

5、总之，对称矩阵的特征值一定是实数，特征向量一定正交，可以对矩阵进行正交对角化。这些特点使得对称矩阵在数学和科学工程领域中具有重要的地位和广泛的应用。

二、三阶实对称矩阵的秩

A的特征值只能是-2和0，则与A相似的对角阵主对角元一定是-2或0，这个对角阵的秩=A的秩=2，所以对角元一定是两个-2和一个0.（对角阵的秩等于其非零对角元的个数）。

三、实对称矩阵的秩

1、实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化

2、不一定满秩，实对称矩阵A币可以对角化则

3、若Λ的特征值有0，则，A与Λ都不满秩

4、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

四、实对称矩阵的特征值与特征向量

A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组

，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。

需要注意的是：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.